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外積と行列式

最近、電磁気の勉強をしていて、ベクトルの外積が行列式で表されることを知りました。


ベクトルの外積とは、ベクトルの掛け算のようなもので、\vec{A} \times \vec{B}と表されます。
\vec{A}\vec{B}のなす角を\thetaとすると、

\vec{A}\times\vec{B}=\left|\vec{A}\right|\left|\vec{B}\right|\sin{\theta} と定義されます。
内積のcosがsinになった感じですね。


特に二次元の時は、\vec{A}=\left(a_x, a_y\right)\vec{B}=\left(b_x,b_y\right)とすると
\vec{A}\times\vec{B}=a_x b_y - a_y b_x
となり、これは二つのベクトルがなす平行四辺形の面積に等しいです。


…と、ここまでは知っていたのですが
三次元のベクトルの場合、ベクトルの外積はスカラでなくベクトルになります。
しかもそれが、
\vec{A}\times\vec{B}=\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z \end{array} \right|
という、非常に綺麗な行列式に纏まることにびっくり。
(\vec{i},\vec{j},\vec{k}はそれぞれx方向, y方向, z方向の基本ベクトルです)


証明とかは出来ませんので省きますが、この事実に感銘を受けました。