外積と行列式 - natrium's reminder

最近、電磁気の勉強をしていて、ベクトルの外積が行列式で表されることを知りました。

ベクトルの外積とは、ベクトルの掛け算のようなもので、 $\vec{A} \times \vec{B}$ と表されます。
$\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$\vec{A}\times\vec{B}=\left|\vec{A}\right|\left|\vec{B}\right|\sin{\theta}$ と定義されます。
内積のcosがsinになった感じですね。

特に二次元の時は、 $\vec{A}=\left(a_x, a_y\right)$ 、 $\vec{B}=\left(b_x,b_y\right)$ とすると
$\vec{A}\times\vec{B}=a_x b_y - a_y b_x$
となり、これは二つのベクトルがなす平行四辺形の面積に等しいです。

…と、ここまでは知っていたのですが
三次元のベクトルの場合、ベクトルの外積はスカラでなくベクトルになります。
しかもそれが、
$\vec{A}\times\vec{B}=\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z \end{array} \right|$
という、非常に綺麗な行列式に纏まることにびっくり。
( $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ はそれぞれx方向, y方向, z方向の基本ベクトルです)

証明とかは出来ませんので省きますが、この事実に感銘を受けました。